Damit erhältst du die Gleichungen
(I‘) y = 6,5 + 1,5x
(II‘) y = -4 – 2x
Jetzt kannst du das Gleichsetzungsverfahren anwenden. Dafür setzt du die beiden Gleichungen (I‘) und (II‘) gleich.
(I‘) = (II‘)
6,5 + 1,5x = -4 – 2x
Somit erhältst du mit
3,5x = -10,5
eine neue Gleichung, die nur noch von der Variablen x abhängt.
Weitere Verfahren findet ihr im Hauptartikel lineare Gleichungssysteme lösen.
In der Mathematik kommt es vor, dass man mehrere Gleichungen mit mehreren Variablen hat. Löst du die Gleichung nun nach x auf, so erhältst du
x = -3
Als nächstes kannst du mit den Gleichungen (I‘) und (II‘) den Wert für y berechnen, indem du x = -3 in eine der beiden Gleichungen einsetzt.
Fall: Gleichungssystem hat genau eine Lösung
Wenn das lineare Gleichungssystem genau eine Lösung hat, dann kann genau ein Wert für die Variable x und genau ein Wert für die Variable y bestimmt werden, d. h., die Lösungsmenge besteht aus genau einem Zahlenpaar (x; y):
Schau dir nun ein paar Übungen und Aufgaben zum Gleichsetzungsverfahren an.
Mit anderen Worten sind x + 2 und 4x - 4 gleich groß. Zum Schluss kannst du noch die Werte x = 2 und y = -1 in die ursprünglichen Gleichungen (I) und (II) einsetzen, um zu überprüfen, ob du mit dem Gleichsetzungsverfahren die richtige Lösung berechnet hast.
(I) -4 · 2 + 2 · (-1) = -10
(II) 3 · 2 – 2 · (-1) = 8
Wie du siehst, sind beide Gleichungen erfüllt, damit hast du das Gleichsetzungsverfahren richtig angewendet und die Variablen x und y richtig berechnet.
Löse mit dem Gleichsetzungsverfahren das lineare Gleichungssystem
(I) 3x – 2y = -13
(II) 4x + 2y = -8
Für das Gleichsetzungsverfahren formst du zuerst beide Gleichungen nach y um.
Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
Werden die beiden linearen Gleichungen des linearen Gleichungssystems nach derselben Variablen aufgelöst und die entsprechenden Terme gleichgesetzt, um die Lösung des Gleichungssystems zu bestimmen, so nennt man dieses Verfahren Gleichsetzungsverfahren.
Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen wird mit dem Gleichsetzungsverfahren in folgenden Schritten gelöst:
Beispiel:
Die Lösung des linearen Gleichungssystems lässt sich auch grafisch veranschaulichen.
Anzahl der Lösungen von linearen Gleichungssystemen
Ein lineares Gleichungssystem hat genau eine Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen.
drei Unbekannten vorgerechnet.
In diesem Abschnitt sehen wir uns Fragen mit Antworten zum Gleichsetzungsverfahren an.
F: Wann wird dieses Thema in der Schule behandelt?
A: Lineare Gleichungssysteme werden meistens ab der 8.
(I) 2x – 3y = -2 | + 3y
2x = -2 + 3y | : 2
(I‘) x = -1 + 1,5y
(II) -3x + 6y = 0 | – 6y
-3x = -6y | : (-3)
(II‘) x = 2y
Schritt 2: Du hast nun zwei Gleichungen für die Variable x.
Werden die beiden linearen Gleichungen des linearen Gleichungssystems nach derselben Variablen aufgelöst und die entsprechenden Terme gleichgesetzt, um die Lösung des Gleichungssystems zu bestimmen, so nennt man dieses Verfahren Gleichsetzungsverfahren.
Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen wird mit dem Gleichsetzungsverfahren in folgenden Schritten gelöst:
Dies sehen wir uns an:
Tipp: Es gibt verschiedene Möglichkeiten lineare Gleichungssysteme zu lösen.
Formst du die Gleichung (I“) also nach x um, so erhältst du für x den Wert
x = 2
Um die Variable y zu bestimmen, setzt du x = 2 in Gleichung (II‘) ein.
x = 2 in (II‘) y = -4 + 1,5 · 2
y = -1
Somit hast du mit x = 2 und y = -1 die Lösung des linearen Gleichungssystems bestimmt.
Wir sehen uns hier das Gleichsetzungsverfahren an. Hier siehst du ein Beispiel dazu:
(I) -2x + 3y = -12
(II) x – 2y = 6
Schritt 1:
(I‘) x = 6 + 1,5y
(II‘) x = 6 + 2y
Schritt 2:
(I‘) = (II‘)
6 – 1,5y = 6 + 2y
Schritt 3: Du erhältst damit eine Gleichung, die du direkt nach y auflösen kannst.
0 = 3,5y | : 3,5
y = 0
Schritt 4:
y = 0 in (I‘) x = 6 – 1,5 · 0
x = 6
Somit hast du mit x = 6 und y = 0 die eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems.